已知函数f(x)=1/[(x^2)+1]

f(x)=1/[(x^2)+1]

1、证明奇偶性
f(-x)=1/[(x^2)+1]=f(x)
所以函数是奇函数

2.单调区间的确定
分母(x^2+1)在(-无穷,0)是减函数
所以f(x)=1/[(x^2)+1]在(-无穷,0)上是增函数
增函数证明
设x1<x2<0
f(x1)-f(x2)=1/[(x1^2)+1]-1/[(x2^2)+1]
=(x1^2+1-x2^2-1)/[(x2^2+1)(x2^2+1)]
=(x2^2-x1^2)/[(x2^2+1)(x2^2+1)]
=(x2+x1)(x2-x1)/[(x2^2+1)(x2^2+1)]
x1<x2<0
分母恒大于0，x1+x2<0，x2-x1>0
所以f(x1)-f(x2)<0
所以函数在（-负无穷，0）上单调递增

f(x)=1/[(x^2)+1]
定义域为R
f(x)=f(-x)
为偶函数
x1,x2∈（－∞,0）,x1＜x2
f(x1)-f(x2)=1／[(x1^2)+1]-1/[(x2^2)+1]=（x1²-x2²）／[(x1^2)+1][(x2^2)+1]=（x1－x2）（x1＋x2）/[(x1^2)+1][(x2^2)+1]

x1＋x2＜0,x1－x2＜0,f(x1)-f(x2)＞0
f(x)在(-无穷,0)上是增函数还是减函数